群论学习(4)拉格朗日定理
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发布时间：2024-10-23 23:59
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时间：2024-11-06 21:59
拉格朗日定理揭示了一个关于有限群的重要性质：设[公式]为有限群，[公式]为[公式]的子群，其绝对值表示群的元素个数，即[公式]。定理表明，[公式]必定整除[公式]，而且[公式]是[公式]的因子。[公式]则是[公式]的左陪集个数，称为指数。请注意，这个定理主要适用于集合而非群，因为非群的[公式]和左陪集组合不构成群。
证明过程涉及对[公式]的子集进行划分，每个左陪集互不相交，且每个元素都对应一个等价类（即左陪集）。对于[公式]，每个元素都可以表示为某个元素的幂，当群阶为素数时，循环群的概念出现。证明素数阶群都是循环群的关键在于子群阶数的整除关系和群元素的唯一确定性。
关于子群的指数传递性，即如果[公式]和[公式]都是[公式]的子群，那么[公式]也必然是[公式]的子群，并且其指数满足[公式]。这通过选择不同左陪集的代表元素并利用群的性质来证明。
最后，值得注意的是，存在一些群，其任意真子群的指数必然是无限的，这是群论中的一个特性。
