衍射计算(一)——衍射计算数学预备知识
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发布时间：2024-10-21 17:44
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本文系列内容主要参考《衍射计算及数字全息》一书，如有侵权请告知删除。
以下是正文部分
一、衍射计算数学预备知识
1.1 常用的几种非初等函数
1.1.1 矩形函数
矩形函数基本定义表达式为：
其基本含义为：平面上以点为中心的矩形区域内形函数取值为1。其他地方处处等于0，如图所示为中心不在原点，宽度为二维矩形函数示意图。
其基本特点有：可用来描述无限大不透明屏上矩形孔的透过率，用它与投射到屏上的光波场相乘，可以截取出矩形孔范围内的光波场函数值，其他位置处赋予零值。
1.1.2 sinc函数
函数定义为：
其特点为：二维 sinc 函数可以表示矩孔的夫禾费衍射的振幅分布。下图为二维sinc函数平方的图像。
1.1.3 阶跃函数
函数定义为：
二维阶跃函数在y 方向上等于常数，而在x 方向上等同于一维阶跃函数，即相当于一维阶跃函数在 y 方向上延伸。
1.1.4 符号函数
函数定义为：
1.1.5 三角函数
令a>0,b>0,函数定义为：
函数图像如下：
1.1.6 圆域函数
函数定义如下
圆域函数通常用于极坐标中涉及圆孔衍射问题的计算，以下为圆域函数图像：
1.1.7 狄拉克函数
函数定义为：
在信息光学中，函数通常用于表示单位光通量的点光源。基本性质如下：
(1) 缩放性质
若a为任意常数
(2) 筛选性质
(3) 卷积性质
1.1.8 梳状函数
函数定义为：
梳状函数与普通函数的乘积，可以视为对该函数进行等间距的取样，只取出梳状函数有值的位置点处的函数值。所以梳状函数又称为普通函数的取样函数，在讨论函数的取样离散理论时极为有用。
1.2 二维傅里叶变换
1.2.1 二维傅里叶变换的定义和存在条件
一个二维复值函数的二维傅里叶变换表示为，它由下式定义
以下为逆傅里叶变换
傅里叶变换及逆变换在形式上非常相似，只是被积函数中指数项符号不同。上述定义式存在的充分条件可以有多种不同的表述形式，最常用的为以下几种:
(1) 必须在整个平面上绝对可积;
(2) 在任一有限矩形区域里只有有限个间断点和有限个极大和极小点:
(3) 必须没有无穷大间断点。
1.2.2 傅里叶变换定理
（1）线性定理
(2）相似性定理
(3）相移定理
(4）帕塞瓦尔定理
(5）卷积定理
(6）自相关定理
(7）傅里叶积分定理
1.2.3 二维傅里叶变换在极坐标下的表示
对于具有圆对称性的二维函数，用极坐标表示更为方便。设平面上极坐标为，频率平面上的极坐标为，则有
可将直角坐标系中的原函数与谱函数在极坐标下表示为
将以上两式代入式1.2.1中可得极标下的二维傅里叶变换
1.3 线性系统
1.3.1 线性系统的定义
从数学上看，系统对应着某种变换作用，若将系统的作用表示为，二维函数通过系统变换为函数，可记为称为系统的输入函数，称为系统的输出函数
对一个系统，设输入函数为，则有
令为复常数。如果输入和输出满足，则此系统称为线性系统。
在信息光学中，输入光信号可以用函数来表示，这个函数可以看成是某些基元函数的线性组合。对于线性系统，输出光信号就是这些基元函数变换的线性组合如果知道了基元函数的变换关系，复杂的输入光信号的输出情况就清楚了。
1.3.2 脉冲响应和叠加积分
将点光源用函数表示，根据函数的定义则输入光信号的平方分布可以表示为上式的物理意义是，输入光信号的光场分布可以看成是一系列带有权重的点光源的线性叠加。
输入光信号，经过线性系统的输出，可以表示为如果用表示系统在输出空间对输入空间的点上的一个函数的响应，即称为系统的脉冲响应函数。于是，当系统的脉冲响应函数知道后，输出信号可以通过在输入平面的积分表出称上式为叠加积分。
1.3.3 二维线性空间不变系统的定义
二维线性空间不变系统是线性系统的一个重要的子系统。如果一个线性成像系统的脉冲响应函数只依赖于距离和距离，则称该系统是空间不变的，即可以看出，当一个点光源在物场中移动时，它的像只改变位置而不改变函数形式对于线性不变系统，叠加积分变为
1.3.4 线性空间不变系统的传递函数和本征函数
对上式两边作傅里叶变换，根据卷积定理可得上式表明，输出信号的频谱函数是输入信号频谱函数与函数的乘积，这个乘积体现了系统对输入的各个基元函数的效应。函数称为系统的传递函数。由于输出信号可以通过输出信号频谱的逆变换求出，如果知道线性不变系统的传递函数，系统对输入信号的响应即完全确定。
当函数通过一个系统后，其输出函数仍保持原来的形式，或变为原函数与一复常数的积，则称为系统的本征函数。
1.4 二维取样定理
Shannon给出秒如果取样点取得彼此非常靠近，就可以认为这些取样数据是原函数的精确表示。对于带限函数，只要取样点之间的间隔不大于某个上限，就可以准确的重建原函数。
带限函数指这类函数的傅里叶变换只在频率空间的有限区域上不为零，取样定理适用于带限函数类。
1.4.1 函数的取样
考虑函数在矩形格点上的取样，取样函数定义为取样函数由函数阵列给出，各个函数在方向和方向上的间隔分别为和。如下图
取样函数的频谱可由下式给出由于因此得到结果表明，可以通过吧的频谱延拓在每一个点的周围的方法求出频谱，如图所示。
1.4.2 原函数的复原
用频域中宽度为和的位于原点的矩形函数作为滤波函数让取样函数的频谱通过滤波器便能准确地复原，即如果将取样函数视为输入信号，视为通过一线性不变系统的俄输出信号，则可视为系统的传递函数，此时空域中对应等式为式中因此上式的结果称为惠特克-香农(Whittaker-Shannon)取样定理，通常简称为香农取样定理。它表明，对于带限函效，在一个间隔合适的矩形阵列上的取样值，可以绝对准确地复原原函数:在每一个取样点上插入一个由函数的乘积构成的插值函数，其权重为相应点上取样值，就实现了复原。
1.4.3 空间-带宽积
对于带限函数称为函数 g 的空间-带宽积，其数值为函数在空域和频域中所占有的面积之积。
对于一个二维函数，如图像，空间-带宽积决定了最低必须分辨的像素数及表达它需要的自由度或自由参数。当是实函数时，每一个取样值为一个实数，自由度即为当是复函数时，每一个取样值为一个复数，要由两个实数表示，自由度增大一倍，即自由度为以上就是衍射计算所涉及的预备数学知识个人能力有限，如有纰漏，欢迎指正如有内容或图片侵权，请联系删除。
