FMT(快速莫比乌斯变换)
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发布时间：2024-10-24 10:15
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时间：2024-11-14 13:22
快速莫比乌斯变换（FMT）是一种在全集上的函数变换，它在处理特定子集时展现出高效性能。其基本原理是，如果定义[公式]，则有[公式]。通过Zeta（Mobius）变换和其反演，常规求解的时间复杂度为[公式]，但通过高维前缀和优化，可以提升到[公式]。FMT借助动态规划（dp）进行优化，正变换的dp状态转移为[公式]，空间复杂度为[公式]。
逆变换同样采用dp，初始状态为[公式]，状态转移通过枚举[公式]和[公式]。最终，FMT的简洁代码仅需三行，适用于子集情况。对于超集，额外的处理包括高维后缀和，与子集FMT有所不同。
FMT真正的挑战在于将子集求和转化为位运算卷积，如并卷积[公式]。通过与FFT思路结合，证明了[公式]后，可以高效求解[公式]。然而，FMT无法处理异或卷积，但可用于子集卷积。通过预处理，空间复杂度可以降低到[公式]。
FMT与数论中的莫比乌斯反演密切相关，它本质上是容斥原理的数学体现，是广义莫比乌斯变换的一种特殊形式，与狄利克雷卷积和莫比乌斯反演相关。当参数[公式]是平方自由数时，FMT简化为特定的广义莫比乌斯变换形式[公式]。
