已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则直线DB1与BC1所成角的大小是多少?请写全...

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解:以D点为坐标原点,DA为X轴,DC为Y轴,DD1为Z轴,构建直角坐标系

    设正方体的棱长为1,则:

      D点坐标为(0,0,0),B1点坐标为(1,1,1),B点坐标为(1,1,0),C1点坐标为(0,1,1)

      ∴向量DB1=(1,1,1)    向量BC1=(-1,0,1)

      ∴cos<DB1,BC1>=(1*-1+1*0+1*1)/(DB1平方)(BC1平方)=0

      ∴直线DB1与直线BC1成角为90°

法2:直线DB1在平面BCC1B1内的射影为B1C

       ∵面BCC1B1为正方形,B1C与BC1为对角线,∴B1C⊥BC1

       根据三垂线定理(直线在面内的射影与另一条直线垂直,则这条直线与另一条直线垂直)得

    DB1⊥BC1

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设BC1中点为E,CD中点为F,连接EF
易得EF//DB1
设正方体边长为a
BE=(根号2)a/2
EF=1/2DB1=(根号3)a/2
BF=(根号5)a/2
BE²+EF²=BF²
∠BEF=90°
直线DB1与BC1所成角是90°

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