...使得每个数的各位数字之和都能被2006整除,求这两个自然数。(写出过...

发布网友 发布时间：2024-10-24 08:05

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热心网友 时间：2024-10-24 08:12

这样的数组有无数对。
以下求解出所有满足题设情况的数组怎么去找。
下面的求解过程涉及到：【进位制】、【不定方程】、【同余】，如果没学习过也没关系，只涉及最简单的部分，你应该能看懂。如果看不懂，请追问。
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①

先证明这两个数必须产生进位。
假若这两个数之间变化不产生进位，那么除去个位，这两个数完全一样。
不妨设第一个数的数字之和为2006p，那么第二个数的数字之和应当为2006p+1，
而2006p+1显然不是2006的倍数，
否则
2006p+1=2006q
于是
2006×(q-p)=1
因而，2006是1的因数，这显然矛盾。
于是得到以下结论：【这两个数必然产生进位。】
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②
注意到，任何产生进位的两个连续自然数，它们的数字之和的差为9n-1，n为进的位数。
证明：
设一个数为abcd...hijk999....9，末位以n个9结尾。
（于是k就不是9了，否则按照n+1个9结尾的方式去证明也是一样的）
于是，这个数+1后为abcd...hij(k+1)000....0
于是，
第一个数的数字和为：a+b+c+d+...+h+i+j+k+9×n
第一个数的数字和为：a+b+c+d+...+h+i+j+k+1+0×n

这两个数字和的差为：
(a+b+c+d+...+h+i+j+k+9×n)-(a+b+c+d+...+h+i+j+k+1+0×n)
=9n-1
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③
设第一个数的数字之和为2006p，第二个数的数字之和为2006q
因而，
2006p=2006q+9n-1
下面解这个不定方程。

等式两边同时对9取余数，
2006p≡2006q+9n-1（mod 9）
8p≡8q-1（mod 9）
8p-8q+1≡0（mod 9）
8(p-q)+1≡0（mod 9）
当p-q=1时，即可满足条件。
此时，代入回下面的式子：
2006p=2006q+9n-1
2006(p-q)=9n-1
此时，n=223
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④
由不定方程原理，实际上，任取正整数m，那么n=223+2006m都满足上面的不定方程。
证明：
2006p=2006q+9(223+2006m)-1
2006p-2006q+1=2007+2006m
2006p-2006q=2006+2006m
p-q=1+m
只需要任意选取正整数p、m，均可得到唯一确定的q
因而，m可以取任意正整数。
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⑤
因而，只需按以下两个原则去选取数，即可得到所有的情况。
（1）第一个数末尾恰好含有223+2006m个9，于是第二个数末尾恰好有223+2006m个0；
（2）第一个数的数字之和只需满足是2006的倍数，那么第二个数也一定满足。
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⑥
下面不妨我们找几组这样的数，
（1）1111...111999...9与1111...112000...0
第一个数包含2005个1和223个9，数字和为2005+223×9=4012=2006×2
第二个数包含2004个1和1个2，数字之和为2004+2=2006×1
（2）2222...221999...9与2222...222000...0
第一个数包含1002个2、1个1和223个9，数字和为2005+223×9=4012=2006×2
第二个数包含1003个2，数字之和为1003×2=2006=2006×1
（3）1111...111999...9与1111...112000...0
第一个数包含2005个1和223+2006个9，数字和为2005+223×9+2006×9=4012+2006×9=2006×11
第二个数包含2004个1和1个2，数字之和为2004+2=2006×1
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以上。

【经济数学团队为你解答！】

热心网友 时间：2024-10-24 08:09

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热心网友 时间：2024-10-24 08:14

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