设f1(x),f2(x),...fn(x)是[0,1]上的连续函数。称f1(x),f2(x),...fn...
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应该是在实数域上讨论吧.
充分性:
若det(∫fi(x)fj(x)dx)=0, 线性方程组 x1∫f1(x)fj(x)dx+...+xn∫fn(x)fj(x)dx=0 (j=1,...,n)有非零解.
取一组非零解, 设f(x)=x1f1(x)+...+xnfn(x), 则有∫f(x)fj(x)dx=0 (j=1,...,n).
于是∫f(x)^2dx=∫f(x)(x1f1(x)+...+xnfn(x))dx=x1∫f(x)f1(x)dx+...+xn∫f(x)fn(x)dx=0.
f(x)是实值函数故f(x)^2非负, 但∫f(x)^2dx=0, 只有f(x)^2=0.
故0=f(x)=x1f1(x)+...+xnfn(x), 而系数不全为0, 即有f1(x),...,fn(x)线性相关.
必要性:
若c1f1(x)+...+cnfn(x)=0, 易见c1,...,cn为前述线性方程组的解.
若c1,...,cn不全为0, 即为非零解, 有det(∫fi(x)fj(x)dx)=0.
