已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a。用向量法证明AC⊥BD'
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解：建立空间直角坐标系：
以D点为坐标原点D(O), 以DA的正向为X轴，以DC的正向为Y轴，以DD'的正向为Z轴。
有关点的坐标如下：
D(0,0,0), A( a,0,0), B(a,a,0), C(0,a,0), D'(0,0,a).
向量AC=(0,a,0)-(a,0,0)
=(0-a,a-0,0-0),
=(-a,a,0).
向量BD'=(0,0,a)-(a,a,0),
=(-a,-a,a)
向量AC.向量BD'=(-a,a,0).(-a,-a,0).
=(-a)*(-a)+a*(-a)+0*a.
=a^2-a^2+0.
=0.
∴向量AC⊥向量BD'.
∴AC⊥BD'.
证毕。
